Pfff den uitleg. Ik ga die in twee splitsen. Eerst de theoretische afleiding op slide 8.35, dan het voorbeeld behandelen.
Theorie:Eerst moete u afvragen: wat willen we bekomen?
Het antwoord is simpel: We willen zoveel mogelijk weg kunnen laten zonder al teveel informatie te verliezen. Bekijk nu een aantal vectoren van
n elementen. Stel dat het
i-de element nu altijd een enorm kleine waarde had, dan kunnen we dit element eigenlijk zonder problemen weglaten.
Hoe maken we zoveel mogelijk elementen klein?
Door deze vectoren te
transformeren naar een vorm waarin hun elementen onafhankelijk zijn van elkaar. Dit kan ik niet echt goed uitleggen maar het is zeer logisch (denk er maar eens over na!). Poging tot uitleg:
Stel dat het resultaat na de transformatie de vector (g,k) is, met
g een Grote waarden en
k een Kleine waarde.
De vector
voor transformatie was dan bv (g,g+k). Hier zijn beide elementen groot. Door het eerste en tweede element onafhankelijk van elkaar te maken zijn we er dus in geslaagd om 1 klein element te vinden.
Zoals ik al zei, niet goed uitgelegd maar hopelijk geraak je er wel via deze uitleg.
Wanneer zijn twee elementen onafhankelijk?
Als hun correlatie 0 is. Dus stel je de autocorrelatie-matrix op. Het
(i,j)-de element hiervan is de correlatie tussen het i-de en het j-de element.
Als alle elementen onafhankelijk zijn van elkaar is de autocorrelatie-matrix dus een diagonaalmatrix.
Hoe maak je van een matrix A een diagonaalmatrix?
Je maakt DiagMatrix = C*A*C
T met C de matrix met de eigenvectoren van A.
Oefening:Hiervoor gaan we eerst Rx omvormen naar een meer bruikbare vorm.
We hebben de autocorrelatie-matrix Rx. Deze is per definitie gelijk aan
Rx = E[(X-mu)(X-mu)T]
Met mu het gemiddelde en X de 3x4 matrix die je krijgt door x(1)
T,x(2)
T,... naast elkaar in een matrix te zetten.
We gaan dit nu wiskundig uitwerken:
Rx = E[(X-mu)(X-mu)] = E[XXT-mu*XT-X*muT+mu*muT]
= E[XXT]-E[mu*XT]-E[X*muT]+E[mu*muT]
Nu is het gemiddelde een getal en dit mag je buiten E[.] zetten (in ons geval is het een matrix van getallen maar dit blijft hetzelfde).
Rx = E[XXT]-mu*E[XT]-E[X]*muT+mu*muT
Nu is E[X] het gemiddelde van X, oftewel mu:
Rx = E[XXT]-mu*muT-mu*muT+mu*muT
= E[XXT]-mu*muT
ok we zijn al zover.
X*X
T kan je berekenen, dit is een simpele matrixvermenigvuldiging (3x4 * 4x3 geeft 3x3).
E[X*X
T] is gewoon 1/4*X*X
T mu*mu
T geeft ons een 3x3 matrix.
Ge trekt die twee af en ge krijgt de matrix onderaan p 36.
Daar bereken je dan de eigenwaarden van. Hoe doe je dat?
Los het stelsel A - diag(lambda,lambda,lambda) naar lambda op (A is de matrix onderaan p 36). Dit geeft u drie mogelijke waarden voor lambda.
De bijhorende eigenvectoren u(i) zijn de matrices [x,y,z]
T waarvoor geldt dat
(A-diag(lambdai,lambdai,lambdai))*ui = [0,0,0]
Dan plaats je de drie eigenvectoren naast elkaar in 1 3x3 matrix en je hebt T.
Zoals je merkt een zwaar wiskundige uitleg. Duidelijk te zwaar voor iemand die niet de kandidaturen (bachelers zijn dat tegenwoordig) burgerlijk ingenieur gevolgt heeft.
Echter, in de echte wereld buiten de universiteit wordt van een burgerlijk ingenieur verwacht dat dit basiskennis is. Indien mensen die dit niet kunnen afstuderen als burgerlijk ingenieur betekent dit een degradatie van het diploma burgerlijk ingenieur. Dat is de reden dat wij allemaal gekant zijn tegen het nieuwe systeem en dat is de reden dat mijn collega zo onvriendelijk was.
Ik ben echter van mening dat we het systeem moeten bevechten, niet de mensen die er gebruik van maken want ik zou dit ook gedaan hebben in jullie plek.
Toch, als je ooit jezelf een
waardige burgerlijk ingenieur wilt kunnen noemen en respect wilt krijgen van ons, neem Systeem en Signaal-analyse, Statistiek, Analyse 1,2,3 eens als keuzevakken. Dan zal mijn collega heus niet meer onvriendelijk doen tegen jou.
Alle, ik hoop dat mijn uitleg geholpen heeft, zoniet, post je vragen maar hieronder
Tot daar mijn 2 cent,
...
EDIT: typfouten, me al die E[.] Die open en toe gaan kan da vlug gebeuren.
Als er iets niet werkt, just let it know.
